Родился 12 октября 1956 года в городе Новокузнецке Кемеровской области. Затем семья переехала в Тюмень. После окончания школы №14 (ныне — №25 корпус 2) — учеба в Тюменском высшем военно-инженерном командном училище.
Офицерская служба началась в 1979 году в Киевском военном округе.
В Республику Афганистан прибыл 16 мая 1981 года в 1 роту 19 отдельного инженерно-саперного батальона (в/ч пп 50756) 45 инженерно-саперного полка (в/ч пп 88870) на должность командира взвода в город Чарикар провинции Парван. Ни один боевой выход танковых и мотострелковых частей не обходился без саперов. Приходилось идти впереди колонн, разминировать дороги, тропы, мосты, колодцы, минировать караванные пути моджахедов.
Участвовал в армейских операциях в Панджшерском ущелье 1982 года, в боевых выходах под Кандагар, Джелалабад, Асадабад. Особенно тяжелыми выдались события июля 1982 года. Двое суток выводили военную колонну из-под обстрела мятежников у города Пули-Хумри провинции Баглан на севере страны. Благодаря стойкости и мужеству взвода старшего лейтенанта Дергачёва, удалось избежать больших потерь.
Александр Григорьевич награжден медалью «От благодарного афганского народа», знаком «Воину-интернационалисту».
Вернулся на Родину 21 апреля 1983 года в Киевский округ. Уволился в запас в 1985 году. Приехал в Тюмень. Работал на предприятиях города. Умер 13 июля 2016 года.