Родился 22 мая 1961 года в Тюмени. Отец Александра, лётчик-штурман тяжёлых бомбардировщиков, прошёл всю Великую Отечественную войну от Ленинграда до Праги.
После окончания школы №29 (ныне — №5 корпус 2) сын планировал пойти по стопам отца, но 27 июня 1979 года его призвали в армию и направили в учебный полк в посёлке Светлый Омской области.
10 января 1980 года 2 рота 1 батальона 181 мотострелкового полка (в/ч пп 51932) 108 мотострелковой дивизии, где стал проходить дальнейшую службу младший сержант Гаврилов, пересекла советско-афганскую границу и двинулась на столицу Афганистана Кабул. Местом дислокации определили пригород Кабула Хайр-Хана, известный как Теплый Стан. Начались боевые будни.
Рота охраняла участок дороги в провинции Парван от Кабула до поворота на военный аэродром Баграм. Приходилось пресекать попытки боевиков минировать дорогу и нападать на советские и афганские автомобильные колонны.
С лета 1980 года подразделение начало выходить на боевые операции. В конце августа в ходе боя в Панджшерском ущелье при выносе с поля боя тяжелораненого командира взвода Александр сам получил ранение.
После короткого лечения уже в сентябре 1980 года принял участие в рейдах на Джелалабад и Гардез по уничтожению крупных группировок моджахедов.
Награждён медалью «От благодарного афганского народа».
Уволился в запас 10 июля 1981 года. Вернулся в любимый город. Окончил Тюменский строительный техникум (ныне — политехническое отделение многопрофильного колледжа Тюменского индустриального университета). Занимается общественной и благотворительной деятельностью в объединениях ветеранов боевых действий.