Родился 3 августа 1960 года в деревне Речки Ивацевичского района Брестской области Белорусской ССР.
В ряды Вооруженных Сил призван 27 апреля 1979 года. Служба началась с учебной воинской части города Ашхабада (столицы Туркмении). Продолжилась в 1008 зенитно-артиллерийском полку (1008 ЗенАП, в/ч 11237) 5 гвардейской мотострелковой дивизии в Кушке — самом южном городе СССР. Младшего сержанта Стаскевича назначили на должность командира орудия.
28 декабря 1979 года 5 гвардейская мотострелковая дивизия вошла на территорию Республики Афганистан. Подразделения 1008 ЗенАП разместились у поселения Шинданд — уездного центра провинции Герат. Боевая задача — прикрытие расположения гарнизона наших войск и близлежащего аэродрома. 28 января 1980 года командование приняло решение вернуть зенитчиков обратно в Советский Союз.
За выполнение интернационального долга Александр Алексеевич награжден медалью «От благодарного афганского народа», знаком «Воину-интернационалисту».
Уволился в запас весной 1981 года. Приехал на постоянное место жительства в Ярковский район Тюменской области.