Родился 21 октября 1963 года в селе Куропаткинское Кокчетавской области Казахстана. Окончил местную среднюю школу.
В ряды Советской Армии призван 12 ноября 1981 года. Армейская жизнь началась с учебной воинской части города Чебаркуля Челябинской области.
В Республику Афганистан прибыл в апреле 1982 года в 56 отдельную гвардейскую десантно-штурмовую бригаду (в/ч пп 44585) в населенный пункт Гардез — административный центр провинции Пактия.
Служба продолжилась в десантно-штурмовом батальоне. Затем перевели в минометную батарею. В должности наводчика миномета Николай Анатольевич неоднократно принимал участие в боевых действиях. Особенно запомнились военные операции в зелёной зоне у поселения Кандагар в январе и августе 1983 года.
Рядовой Дрёмов награжден медалью «От благодарного афганского народа», знаком «Воину-интернационалисту».
Уволился в запас 12 января 1984 года. В настоящее время живет и трудится в городе Заводоуковске Тюменской области (сетевое издание Тюмень Медиа: «По дорогам памяти»).