Родился 13 июля 1963 года в городе Ханты-Мансийске. В 1968 году с семьей переехал в город Ялуторовск Тюменской области. Там окончил школу №2.
В Вооруженные Силы призван 9 ноября 1981 года, направлен в Воздушно-десантные войска. Армейский путь начал с 301 гвардейского парашютно-десантного полка (город Кострома).
В Республику Афганистан прибыл в составе сводного подразделения 5 мая 1982 года в 317 гвардейский парашютно-десантный полк (в/ч пп 24742) 103 гвардейской воздушно-десантной дивизии в столицу страны город Кабул. С августа служил во взводе связи 3 парашютно-десантного батальона, дислоцированного в населенном пункте Лашкаргах (административном центре провинции Гильменд).
В должности оператора станции ближней разведки неоднократно участвовал в боевых действиях, сопровождал автомобильные колонны, ходил в засады. В ходе военной операции 3 сентября 1982 года на противотанковой мине подорвался бронетранспортер, в экипаже которого находился рядовой Дергачёв. Александр Геннадьевич получил минно-взрывную травму, но остался в строю.
За выполнение интернационального долга награжден медалью «От благодарного афганского народа», знаком «Воину-интернационалисту».
Уволился в запас 30 ноября 1983 года. По возвращении домой работал на Тюменской базе авиационной охраны лесов. Стал инструктором парашютно-пожарной службы. Совершил около 400 прыжков с парашютом. Активно занимается общественной работой.