Родился 1 июня 1964 года в деревне Доновка Казанского района Тюменской области. Семья переехала в село Пахомово Ишимского района. Окончил школу №7 города Ишима. В ДОСААФ освоил специальность водителя.
В Вооруженные Силы призван 27 сентября 1982 года и направлен в учебный полк города Ашхабада, Туркмения.
В Республику Афганистан прибыл 3 мая 1983 года в 998 артиллерийский полк (в/ч пп 39696) 201 мотострелковой дивизии в район города Кундуза одноименной провинции. Определили командиром ремонтного отделения во взвод обеспечения и управления 1 самоходно-артиллерийского дивизиона. Основная задача подразделения сержанта Нечаева — ремонт и восстановление колесной техники.
В составе дивизиона выходили на боевые операции в район населенных пунктов Ишкашим, Файзабад. Ходили в сопровождении воинских колонн в группе технического замыкания, преодолевая перевал Саланг. Участвовали в седьмой армейской операции в Панджшерском ущелье в апреле-мае 1984 года. Испытали моджахедские обстрелы из засад. Приходилось отражать нападения и эвакуировать поврежденную технику в безопасное место.
За выполнение интернационального долга Анатолий Александрович награжден медалью «От благодарного афганского народа», знаком «Воину–интернационалисту».
Вернулся на родину в феврале 1985 года. Окончил Ишимский сельскохозяйственный техникум (ныне — Ишимский многопрофильный техникум). Работал в муниципальных организациях, в том числе более 10 лет — лесником. Проживает в селе Гагарино Ишимского района.