Родился 23 апреля 1961 года в совхозе Орошаемый Питерского района Саратовской области. В школе серьезно занимался спортом, выполнил норматив кандидата в мастера спорта по самбо.
Под конец первого года учебы в Саратовском педагогическом институте в мае 1979 года призван в армию и направлен в учебную воинскую часть Подмосковья.
В Афганистан прибыл 1 марта 1980 года в 738 отдельный противотанковый артиллерийский дивизион (в/ч пп 83565) 108 мотострелковой дивизии в город Баграм провинции Парван. Дивизион порасчетно был рассредоточен на сторожевых заставах, охранявших дорогу Кабул – Джелалабад.
Группами выходили в разведку для корректировки огня своей артиллерии. В ходе боевого выхода 26 декабря 1980 года разведчики наткнулись на отряд моджахедов. Завязался бой. Алексей Петрович уничтожил несколько огневых точек, но сам был ранен. Долго лечился.
За проявленное мужество при выполнении интернационального долга награжден медалями «За боевые заслуги», «От благодарного афганского народа».
Вернулся на родину в мае 1981 года. Окончил Саратовский нефтяной геологоразведочный техникум и в 1984 году приехал на работу в Тюмень. Занимался с молодежью в военно-патриотическом клубе «Каскад». Лейтенант запаса (Тюменская интернет-газета «Вслух.ру»: «Последний бой сержанта Должникова»).