Родился 18 января 1968 года в Тюмени. Окончил восемь классов школы №12. Продолжил учебу в Тюменском педагогическом училище (ныне — Колледж цифровых и педагогических технологий).
В армию призван в ноябре 1986 года. Служба началась в учебной части города Термеза, Узбекистан.
В Республику Афганистан прибыл 1 февраля 1987 года в 1357 отдельный батальон охраны (в/ч пп 12876) 40 армии в столицу государства город Кабул.
Выполняли задачи по защите и обороне государственных и военных структур. Боевики регулярно провоцировали наших солдат — обстреливали из стрелкового оружия охраняемые объекты.
За выполнение интернационального долга рядовой Кобышев награжден медалью «От благодарного афганского народа», знаком «Воину-интернационалисту».
В соответствии с графиком Вывода войск из южной страны вылетели 7 января 1989 года на самолетах военно–транспортной авиации. По возвращению на территорию СССР Евгений Петрович уволился в запас. Вернулся домой. Работал в различных муниципальных и коммерческих организациях.