Родился 28 ноября 1966 года в Свердловской области. В 1974 году семья переехала в город Заводоуковск Тюменской области. Там окончил школу №4. Трудился в местном леспромхозе помощником вальщика. Увлекался фотоделом, гиревым спортом. В Ялуторовском отделении ДОСААФ прошел подготовительный курс прыжков с парашютом.
В Вооруженные Силы призван 20 апреля 1985 года, направлен в Воздушно-десантные войска. Служба началась с учебной части ВДВ города Ферганы, Узбекистан.
В Республику Афганистан прибыл в октябре 1985 года в столицу страны город Кабул. Распределили в 357 гвардейский парашютно-десантный полк (в/ч пп 48059) 103 гвардейской воздушно-десантной дивизии.
В должности снайпера парашютно-десантной роты гвардии рядовой Абрамов принимал участие в военных операциях, засадах, сопровождении транспортных колонн. 22 июня 1986 года боевая машина десантников, следуя в составе отряда обеспечения движения, подорвалась на фугасе. Александр Владимирович погиб.
Он награжден орденом Красной Звезды (посмертно).
Похоронен на кладбище Заводоуковска. Его имя высечено на мемориальной плите городского сквера Воинской славы (газета «Заводоуковские вести»: «Была б достойна наша жизнь солдатской смерти их»; интернет-платформа «VK_Видео»: «Герой афганской войны Александр Абрамов»).