Родился 14 апреля 1968 года в Тюмени. По окончании восьми классов школы №20 (ныне — №7 корпус 2) продолжил учебу в училище №6 (теперь — Тюменский техникум строительной индустрии и городского хозяйства, отделение на улице Энергетиков). Получил рабочую специальность. Активно занимался дзюдо.
15 июня 1986 года призван в Вооруженные Силы. Службу начал в Прикарпатском военном округе на территории Украины.
19 апреля 1987 года в штате 13 отдельного автомобильного батальона (в/ч пп 35503) 40 армии пересек границу Республики Афганистан. Расположились у столицы страны города Кабула. В составе автоколонн 0011, 0012 доставляли боеприпасы, имущество на советские армейские базы в города Кундуз, Пули-Хумри, Баграм.
Для прикрытия от нападения боевиков в кузов некоторых автомобилей ставили спаренную 23-миллиметровую зенитную установку ЗУ-23. Командиром такого орудия стал младший сержант Бодров. В один из рейсов 19 июля 1987 года недалеко от Кабула моджахеды устроили засаду. Начался жестокий обстрел. Прикрывая товарищей, зенитчики вступили в боестолкновение с противником. Успели подавить несколько огневых точек. Однако в ходе боя Юрий Александрович погиб от пули снайпера.
Однополчане соорудили обелиск на месте его гибели. За мужество и отвагу он награжден орденом Красной Звезды (посмертно).
Похоронен на Червишевском кладбище Тюмени. На здании ТТСИиГХ (отделения по Энергетиков) установлена мемориальная доска с именем героя-выпускника. В музее техникума офрмлена памятная экспозиция (сайт ГАПОУ Тюменской области «Тюменский техникум строительной индустрии и городского хозяйства»: «МУЗЕЙ»; на фото с авторского сайта Сергея Буковского «Противостояние» ниже: обелиск в Афганистане на месте гибели с надписью «ТЮМЕНЬ Бодров Юрий Александрович 14.4.1968 — 19.7.1987»).
