Родился 9 января 1957 года в поселке Нори Надымского района Ямало-Ненецкого автономного округа. Окончил восемь классов средней школы-интерната села Ныда. Пошел трудиться разнорабочим в местный совхоз. Учебу продолжил заочно в райцентре.
Призван в ряды Советской Армии 10 ноября 1980 года. Направлен для обучения в военное подразделение города Ашхабада (столицы Туркмении). Там освоил специальность химика-разведчика.
Прибыл в Республику Афганистан в мае 1981 года в 738 отдельный противотанковый артиллерийский дивизион (в/ч пп 83565) 108 мотострелковой дивизии на должность командира отделения химической разведки. Часть выполняла боевую задачу по охране участка стратегической автомобильной трассы от населенного пункта Джабаль-ус-Сирадж (уездного центра провинции Парван) до главного города страны Кабула.
Сторожевая застава младшего сержанта Гребнева находилась у поселения Исталиф под Кабулом. Боевики регулярно обстреливали расположение наших воинов, проходящие автомобили, минировали дорожное полотно. 18 марта 1982 года в ходе очередного боестолкновения с моджахедами Александр Васильевич погиб.
За проявленное мужество он награжден орденом Красной Звезды (посмертно).
Похоронен на родине. На здании учебного заведения, где учился герой, установлена памятная доска. Его имя высечено на мраморной плите монумента погибшим в Афганистане воинам-интернационалистам Тюменской области, ХМАО-Югры, ЯНАО мемориального комплекса павшим защитникам Отечества в сквере Губкина столицы региона — города Тюмени (сайт МОУ «Школа-интернат среднего общего образования с.Ныда»: «Гребнев А.В.»; интернет-портал Заксобрания ЯНАО: «В Кабуле появилась памятная доска с именами ямальцев, погибших в ходе афганской войны»).