Родился 4 августа 1962 года во Владимирской области. В 1967 году семья переехала в поселок Алябьевский Советского района Ханты-Мансийского автономного округа. Там окончил среднюю школу. Продолжил образование в Свердловской области.
Оттуда призван в армию 24 апреля 1981 года. Направлен в учебную часть Воздушно-десантных войск местечка Гайжюнай, Литва.
Прибыл в Республику Афганистан в ноябре 1981 года в 357 гвардейский парашютно-десантный полк (в/ч пп 48059) 103 гвардейской воздушно-десантной дивизии в главный город страны Кабул. В должности командира отделения разведывательной роты участвовал в военных действиях.
4 июля 1982 года в ходе выполнения очередной задачи гвардии сержант Киреев получил смертельное ранение.
Александр Иванович награжден орденом Красной Звезды (посмертно).
Похоронен в поселке Пионерском Советского района ХМАО. Комната боевой и трудовой славы Алябьевской СОШ хранит память о выпускнике. Имя воина-афганца высечено на мраморной плите монумента погибшим в Афганистане воинам-интернационалистам Тюменской области, ХМАО-Югры, ЯНАО мемориального комплекса павшим защитникам Отечества в сквере Губкина столицы региона — города Тюмени (социальная сеть «ВКонтакте»: «Киреев Александр Иванович»).