Родился 13 января 1966 года в деревне Юрминке Аромашевского района Тюменской области. Там получил начальное образование. Десять классов окончил в соседней деревне Кармацкой. В районном отделении ДОСААФ прошел шоферские курсы. Работал в совхозе.
20 апреля 1984 года призван в ряды Советской Армии, направлен в Воздушно-десантные войска. В учебной части ВДВ города Ферганы (Узбекистан) освоил вождение бронетехники.
В Республику Афганистан прибыл в октябре 1984 года в 345 отдельный гвардейский парашютно-десантный полк (в/ч пп 53701) в поселение Баграм провинции Парван. В должности механика-водителя боевой машины пехоты 8 парашютно-десантной роты участвовал в военных операциях.
31 августа 1985 года в составе бронегруппы десанта выполнял задачу по уничтожению банды мятежников у населенного пункта Гардез — административного центра провинции Пактия. В ходе завязавшегося боя БМП гвардии рядового Молчанова подорвалась на мине. Сергей Иванович погиб.
За проявленное мужество он награжден орденом Красной Звезды (посмертно).
Похоронен на родине. Его именем названа одна из пяти деревенских улиц. В местном парке Победы поставлен обелиск в честь воина-земляка. В память о выпускнике в Кармацкой школе установлена мемориальная доска. В Юрминской СОШ также чтят подвиг своего ученика — лучшим учащимся предоставляется право сидеть за «Партой героя» (сетевое издание «Аромашево Онлайн»: «Знаем, помним, гордимся»; социальная сеть «ОК»: «Памяти Сергея Молчанова посвящается»).