Родился 28 февраля 1968 года в Тюмени. Окончил десять классов школы №11, что работала в «Старой Зареке» (теперь — школа №43).
В Вооруженные Силы призван 24 апреля 1986 года. Прошел военную подготовку в учебной воинской части.
В ноябре 1986 года продолжил службу в Республике Афганистан командиром зенитной установки 1353 отдельного батальона охраны (в/ч пп 43164) 40 армии в районе населенного пункта Джелалабад — административного центра провинции Нангархар.
3 февраля 1988 года при обстреле моджахедами аэродрома и сторожевой заставы орудийный расчет младшего сержанта Шишкина выполнял боевое задание по подавлению огневых точек противника. Зенитчикам удавалось успешно решать поставленную задачу, пока реактивный снаряд не упал на их позицию. Александр Константинович получил смертельное ранение.
За мужество и самоотверженность он награжден орденом Красной Звезды (посмертно).
Похоронен на Червишевском кладбище Тюмени. Имя героя увековечено на мраморной плите монумента погибшим в Афганистане воинам-интернационалистам Тюменской области, ХМАО-Югры, ЯНАО мемориального комплекса павшим защитникам Отечества в сквере Губкина столицы региона (скан страницы Книги памяти Тюменской области: «младший сержант Александр Константинович Шишкин»; социальная сеть «ОК»: «3 февраля — День памяти Александра Шишкина…»).