Родился 8 апреля 1964 года в Тюмени. Окончил среднюю школу №6 (сейчас — лицей №93 корпус 2). Поступил в Тюменское высшее военно-инженерное командное училище.
Выпуск 1985 года, направлен в погранвойска. Служба началась на страже советско-китайской границы в 50 Зайсанском пограничном отряде (Казахстан) в должности командира инженерно-саперного взвода. Продолжилась в 35 Мургабском пограничном отряде, Таджикистан. В марте 1988 года лейтенант Зелинский перевелся в 48 ордена Ленина Краснознаменный Пянджский пограничный отряд (в/ч пп 2066), Таджикистан.
В Республику Афганистан прибыл в апреле 1988 года в штат первой мотоманевренной группы (ММГ-1) в район селения Имам–Сахиб провинции Кундуз. Исполнял обязанности инженера подразделения.
Основные задачи — сопровождение выводимых на территорию СССР воинских колонн, пресечение диверсий против советских войск: проверка дорог, мостов.
Андрей Георгиевич награжден медалями «За боевые заслуги», «От благодарного афганского народа», знаком «Воину-интернационалисту».
Вышел из южной страны 16 февраля 1989 года в составе своей ММГ-1. В апреле 1991 года старшим лейтенантом ушел в запас. Вернулся на родину. Трудился в органах внутренних дел. В 2000 году уволился в звании майора милиции. Работал в коммерческих организациях.