Родился 1 марта 1963 года в деревне Осинцево Абатского района Тюменской области. Окончил восемь классов средней школы села Шевырино.
В Вооруженные Силы призван в ноябре 1981 года. Служба началась в учебном полку города Теджена (Туркмения), где получил воинскую специальность механик-водитель танка.
В Афганистан прибыл 24 апреля 1982 года в 191 отдельный мотострелковый полк (в/ч пп 39676) возле города Газни одноименной провинции. Определили механиком-водителем танка Т-62 во 2 роту танкового батальона. Её танковые взводы придавались подразделениям 56 отдельной десантно-штурмовой бригады. Задача танкистов заключалась в огневом прикрытии подразделений бригады, сопровождении колонн, выходящих на боевые действия в зоне ответственности в провинциях Гардез, Газни, Пактия, Пактика.
Через четыре месяца убыли в район населенного пункта Бараки-Барак в распоряжение командования 3 десантно-штурмового батальона 56 бригады. В августе-сентябре 1982 года приняли участие в шестой Панджшерской операции.
В феврале 1983 года, снова в составе 56 бригады, совершили марш в район поселения Алихель провинции Пактия. Во время следования колонны танк подорвался на мине, вышел из строя. В результате взрыва Алексей получил контузию, но под обстрелом противника танк был восстановлен и продолжил выполнять задачу.
В июне 1983 года в ходе сопровождения колонны в районе перевала Терра (провинция Пактия) произошел подрыв танка на фугасе. Взрывной волной Алексея выбросило через люк механика-водителя. Вновь получил контузию, но остался цел. А танк оказался не пригоден к дальнейшей эксплуатации, получил другой.
За выполнение интернационального долга рядовой Клишев награжден медалью «От благодарного афганского народа», знаком «Воину-интернационалисту».
Уволен в запас в ноябре 1983 года. Вернулся в село Шевырино, где работал на сельскохозяйственном предприятии, затем переехал в село Абатское Тюменской области. Принимает активное участие в патриотическом воспитании молодежи.