Родился 10 февраля 1950 года в Ярковском районе Тюменской области. В 1955 году семья переехала в поселок Кирпичный Ханты-Мансийского автономного округа. Там окончил местную среднюю школу. В профессионально-техническом училище Тюмени получил рабочую специальность. Трудился на Тюменском судостроительном заводе.
Отсюда призван в Вооруженные Силы 10 ноября 1968 года, направлен в погранвойска. Служба началась на Дальнем Востоке. Отличника боевой и политической подготовки заметили командиры — рядовой Ахметшин стал курсантом школы сержантов 69 Краснознаменного Камень-Рыболовского пограничного отряда.
15 марта 1969 года армия Китайской Народной Республики предприняла попытку вооруженного захвата острова Даманский в русле проходившей по государственной границе реки Уссури. Советские пограничники вступили в сражение. В ходе ожесточенного боестолкновения Юрий Юрьевич погиб.
Он награжден медалью «За отвагу» (посмертно).
Похоронен в братской воинской могиле села Камень-Рыболов. В Кирпичном его именем названы улица и учебное заведение, где учился отважный воин. Фамилия героя увековечена на мраморной плите монумента погибшим (пропавшим без вести) в локальных войнах и военных конфликтах жителям Тюменской области мемориального комплекса павшим защитникам Отечества в сквере Губкина областной столицы — города Тюмени (интернет-портал Правительства Приморского края: «Памятник Героям Даманских событий открыли в Приморье»; сайт МКОУ ХМР «СОШ имени Ю.Ю.Ахметшина п.Кирпичный»: «О школе»; сайт ветеранов Тюменского ССЗ: «В память о Юрии Ахметшине»; сайт АУ «Центр подготовки граждан к военной службе»: «Юрий Ахметшин»; интернет-портал Государственной библиотеки Югры: «Ахметшин Юрий Юрьевич»; социальная сеть «ВКонтакте»: «Остров Даманский в наших сердцах»).