Родился 15 марта 1967 года в Казахстане. Семья переехала в город Тольятти Куйбышевской (Самарской) области. Там окончил местные среднюю школу, профессионально-техническое училище. Работал электриком на АвтоВАЗе. Увлекался боксом, плаванием.
18 октября 1985 года призван в ряды Советской Армии. Направлен в учебное подразделение войск специального назначения городка Чирчика, Узбекистан.
В апреле 1986 года прибыл в Республику Афганистан в 370 отдельный отряд специального назначения (в/ч пп 83428) 22 отдельной бригады спецназа в район населенного пункта Лашкаргах — административного центра провинции Гильменд. В должности командира отделения младший сержант Бабуцкий участвовал в военных операциях, рейдах по уничтожению караванов моджахедов. За смелость, решительность и самоотверженность дважды награждался медалью «За отвагу».
3 июня 1987 года при выполнении боевого задания во время поисково-разведывательных действий группу спецназовцев ожидала засада. В ходе завязавшегося боя Сергей Александрович получил тяжелое ранение. 7 июня умер в госпитале.
За мужество и героизм он удостоен высокой правительственной награды — ордена Красного Знамени (посмертно).
Похоронен в Тольятти. В помещении Тольяттинской гимназии, где учился отважный воин, установлена памятная доска. Родные проживали в Ямало-Ненецком автономном округе. Имя героя высечено на мраморной плите монумента погибшим в Афганистане воинам-интернационалистам Тюменской области, ХМАО-Югры, ЯНАО мемориального комплекса павшим защитникам Отечества в сквере Губкина столицы региона — города Тюмени (социальная сеть «ВКонтакте»: «Бабуцкий Сергей Александрович»).